Su recorrido iba desde la calle de Isabel la Católica a la de los Reyes (antes de la Justa). Antes se llamó de la Escuadra, y por abreviatura de la Cuadra, con este último nombre aparece en los planos de Texeira y Espinosa. A partir de 1835 se denomina travesía del Conservatorio porque se instala en ella el primer Conservatorio de Música de Madrid. La calle desaparece por completo al construirse el tercer tramo de la Gran Vía (comprendido entre la Plaza del Callao y la Plaza de España).
